中学生の数学で習う平方根(ルート)の計算や問題の解き方を理解しよう!

平方根(ルート)の計算や問題の解き方を完璧に理解しよう!

はじめに

中学数学のヤマ場の1つである「平方根(ルート)」。

しかし、平方根はイメージがしにくい上に、ルートやら計算やら有理化やら、様々な概念が出てくるため理解が難しく、中学生だけでなく高校生でも苦手としている人は多いです。

ですが、高校数学では平方根はわかっていて当然のものとしてほとんどすべての問題に出てきます。平方根が苦手のまま放っておくと、受験どころではなくなってしまいます。

そこで、今回は「平方根って何?」という基礎の基礎から、センターレベルの問題までを解説します。

平方根をマスターして、数学のわからないところを潰していきましょう!

平方根(ルート)とは?

平方根とは何かということを理解するにおいて、必須の概念が「2乗」です。

2乗とはある数を2回かけること。たとえば2の2乗は4、3の2乗は9です。

そして、平方根とは「2乗」の逆の概念です。

0以上のaという数があるとして、ある数を2乗するとaになるとします。この「ある数」を「aの平方根」といい、

文字を使って表すと、

±√a

となります。

えっ、√aだけじゃなくて-√aもaの平方根なの?と思った方もいるでしょう。

aの平方根とは「2乗するとaになる数」のことです。マイナスを2乗する、つまりマイナスにマイナスをかけるとプラスになりますから、-√aは2乗するとaになります。

なので、aの平方根は√aだけでなく、-√aも入ります。

ちなみにこの「√」は、「根号」という名前で「ルート」と読みます。

「+」が「プラス記号」という名前で「たす」と読むのと同じようなものです。

「√a」は「ルートa」と読む、ということだけ覚えておきましょう。aの平方根(a0)とは

①2乗するとaになる数(+と-の2つある)

②±√a

平方根(ルート)の求め方

ここでは、平方根の求め方について説明します。

「さっきaの平方根は√aっていったから、なんでも√の中に入れればいいんじゃないの?」と思ったあなた。それは半分正しくて、半分間違っています。

平方根には表し方が複数あり、中学・高校数学では「ただ√の中に数字を入れる」表し方ではないものを使うことがよくあるのです。

ここでは、その表し方について説明します。

平方根(ルート)の前に:まずは素因数分解からおさらい

この表し方を理解するにおいて、「素因数分解」が非常に重要になってきます。

素因数分解ってなんだっけ?と思ったあなた、まずはここからおさらいしましょう。

素因数分解とは、「ある数を、素数の積で表すこと」です。(素数とは2, 3, 5, 7, 11, 13など、「自分と1以外の数では割り切れない数」のこと。)

たとえば、

8の素因数分解は「8=2³」

12の素因数分解は「12=2²×3」

75の素因数分解は「75=3×5²」

となります。

2乗で表せる数を外にだして、±をつける

さて、先ほど「aの平方根」とは、「2乗するとaになる数」のことだと言いました。

同様に考えて、「a²の平方根」とは「2乗するとa²になる数」、つまり±aのことだといえます。

ここから、√a²=a, -√a²= -a ということがわかります。√a²=a,-√a²=-aこれを用いると、√8や√12、√75を、

8=2²×2

12=2²×3

75=3×5²

より、


という形で表すことができるのです。

ちなみに、「√a」は必ず0以上、「-√a」は必ず0以下になりますが、「aの平方根」と言った場合は正負どちらも含みます。

ですから、

√8 = 2√2 , -√8 = -2√2ですが、

「8の平方根」は±2√2 となります。

この違いは非常に忘れやすいので、きちんと覚えておきましょう。

よってここまでをまとめると、ある数の平方根は、ある数を√にいれたあと、 ①a²で表せる数を含んでいたらaを外に出す

(ただしaは2以上の自然数)

②±をつけると、求めることができます!



中学3年生の数学の平方根ルートの解説


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